La mesure de la croissance économique

Mesurer la croissance : le PIB et ses sources

Les grands faits stylisés de la croissance économique

La croissance économique moderne découle historiquement du processus d'industrialisation et des mutations structurelles de l'appareil productif. Walt W. Rostow (1960) formalise cette mutation à travers le passage des technologies traditionnelles aux nouvelles technologies industrielles.

Anciennes Technologies	Nouvelles Technologies
Beaucoup de travailleurs (Travail-intensif)	Peu de travailleurs (Travail-économe)
Peu de capital (Capital-économe)	Beaucoup de capital (Capital-intensif)
Énergie humaine	Énergie naturelle (charbon, vapeur)
Énergie-économe	Énergie-intensive

Rostow modélise le développement économique à travers cinq étapes successives :

1. La société traditionnelle : organisation sociale et productive pré-newtonienne axée sur l'agriculture primaire.
2. Les préconditions au décollage : essor de l'éducation, développement du système bancaire et émergence de l'entrepreneuriat.
3. Le décollage (take-off) : phase courte mais intense d'industrialisation et de « désenchantement du monde » au sens de Max Weber.
4. La marche vers la maturité : diffusion des technologies à l'ensemble du tissu économique et réinvestissement systématique de 10 % à 20 % du produit national.
5. L'ère de la consommation de masse : élévation continue du niveau de vie et tertiarisation de l'économie.

Ce processus s'accompagne d'une transition démographique globale et d'une polarisation sociale majeure avec l'émergence de la classe capitaliste.

La productivité globale des facteurs et la fonction de production Cobb-Douglas

Moses Abramovitz (1956) met en avant la présence d'un résidu de croissance non expliqué par la seule accumulation du capital et du travail. Il définit la Productivité Globale des Facteurs (PGF) comme une « mesure de notre ignorance » concernant les déterminants réels du progrès économique. Environ 20 % de la croissance économique historique ne s'explique pas par la simple augmentation quantitative des facteurs de production. Pour étudier formellement la contribution des facteurs, Paul Douglas et Charles Cobb (1928) introduisent la fonction de production néoclassique agrégée.

Démo : Décomposition logarithmique du PIB et comptabilité de la croissance

Soit la fonction de production Cobb-Douglas à rendements d'échelle constants :

$$Y(t)=A(t)K(t{)}^{\alpha }L(t{)}^{1-\alpha }\text{avec }\alpha \in ]0,1[$$

1. En appliquant le logarithme népérien aux deux membres de l'équation, on transforme la relation multiplicative en somme d'éléments :$$\ln (Y(t))=\ln (A(t))+\alpha \ln (K(t))+(1-\alpha )\ln (L(t))$$
2. En dérivant cette égalité par rapport au temps $t$, sachant que la dérivée du logarithme d'une fonction $x(t)$ correspond à son taux de croissance instantané $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\ln (x(t))=\frac{\dot{x}(t)}{x(t)}=g_x$ :$$\frac{\dot{Y}(t)}{Y(t)}=\frac{\dot{A}(t)}{A(t)}+\alpha \frac{\dot{K}(t)}{K(t)}+(1-\alpha )\frac{\dot{L}(t)}{L(t)}$$
3. En notant $g_Y$, $g_A$, $g_K$ et $g_L$ les taux de croissance respectifs de la production, de la PGF, du capital et du travail, l'équation de comptabilité de la croissance devient :$$g_Y=g_A+\alpha g_K+(1-\alpha )g_L$$La croissance de la production ($g_Y$) est donc la somme de la croissance de la PGF ($g_A$) et des contributions pondérées du capital ($\alpha g_K$) et du travail ($(1-\alpha )g_L$).

Premières approches de la modélisation de la croissance : le modèle Harrod-Domar

Hypothèses du modèle

Roy Forbes Harrod (1939) et Evsey Domar (1946) élaborent les premiers modèles d'inspiration keynésienne visant à formaliser la croissance économique. Harrod identifie trois taux de croissance distincts :

• Le taux de croissance effectif ($g$) : le taux mesuré dans l'économie réelle.
• Le taux de croissance garanti ($g_w$) : le taux qui assure l'équilibre sur le marché des biens et services ($S=I$) et l'utilisation optimale des capacités de production.
• Le taux de croissance naturel ($g_n$) : le taux maximal déterminé par l'accroissement de la population active $n$.

Domar met en évidence le double rôle de l'investissement : stimuler la demande globale à court terme via le multiplicateur keynésien, et accroître l'offre de capacités productives à long terme.

Formalisation mathématique et instabilité

Soit $s$ le taux d'épargne et $k=\frac{K}{Y}$ le coefficient de capital (ratio capital/production) supposé fixe du fait de facteurs de production complémentaires (absence de substituabilité). Selon le principe de l'accélérateur, l'investissement requis pour accroître la production de $\mathrm{\Delta }Y$ s'élève à $I=k\times \mathrm{\Delta }Y$.

Démo : Équilibre Harrod-Domar et croissance sur le « fil du rasoir »

1. Côté demande : L'accroissement de la demande globale $\mathrm{\Delta }{Q}^D$ généré par une variation de l'investissement $\mathrm{\Delta }I$ s'écrit selon le multiplicateur keynésien :$$\mathrm{\Delta }{Q}^D=\frac{\mathrm{\Delta }I}{s}$$
2. Côté offre : L'accroissement des capacités de production $\mathrm{\Delta }{Q}^S$ généré par le stock d'investissement $I$ vaut :$$\mathrm{\Delta }{Q}^S=\frac{I}{k}$$
3. Équilibre de Domar : Pour que la croissance de la demande équivale à celle de l'offre ($\mathrm{\Delta }{Q}^D=\mathrm{\Delta }{Q}^S$), il faut que :$$\frac{\mathrm{\Delta }I}{s}=\frac{I}{k}⟺\frac{\mathrm{\Delta }I}{I}=\frac{s}{k}$$
4. Taux garanti de Harrod : De manière équivalente, l'égalité macroéconomique entre l'épargne $S=sY$ et l'investissement $I=k\mathrm{\Delta }Y$ impose :$$sY=k\mathrm{\Delta }Y⟺g_w=\frac{\mathrm{\Delta }Y}{Y}=\frac{s}{k}$$

Conclusions du modèle : l'équilibre sur le fil du rasoir

Le modèle Harrod-Domar démontre que le maintien d'une croissance équilibrée exige le respect simultané de l'égalité $g=g_w=g_n=\frac{s}{k}$. Puisque les variables $s$, $k$ et $n$ sont déterminées par des comportements indépendants et exogènes, cette condition ne se réalise qu'exceptionnellement. Si $g>g_w$, les capacités productives sont insuffisantes et l'économie subit des tensions inflationnistes. Si $g<g_w$, le suréquipement relatif entraîne une dépression déflationniste. La croissance est donc instable et se situe constamment « sur le fil du rasoir ».

L'importance du progrès technique : le modèle de Solow

Le premier modèle de Solow (sans progrès technique)

Robert Solow (1956) surmonte l'instabilité du modèle Harrod-Domar en introduisant la possibilité d'une substitution continue entre le capital et le travail. Les hypothèses centrales du modèle sont les suivantes :

• La fonction de production $Y(t)=F(K(t),L(t))=K(t{)}^{\alpha }L(t{)}^{1-\alpha }$ présente des rendements d'échelle constants et des rendements marginaux décroissants.
• L'économie est fermée et sans État : $Y(t)=C(t)+I(t)$.
• Le taux d'épargne est constant : $S(t)=sY(t)$ avec $s\in ]0,1[$.
• L'investissement net compense la dépréciation du capital au taux $\delta >0$ : $I(t)=\dot{K}(t)+\delta K(t)$.
• La population active augmente au taux exogène $n>0$ : $\frac{\dot{L}(t)}{L(t)}=n$.

Démo : Équation fondamentale du capital par tête dans le modèle de Solow 1

Soit $k(t)=\frac{K(t)}{L(t)}$ le stock de capital par habitant (ou par travailleur).

1. Écrivons la fonction de production sous forme intensive :$$y(t)=\frac{Y(t)}{L(t)}=F(\frac{K(t)}{L(t)},1)=f(k(t))=k(t{)}^{\alpha }$$
2. Dérivons le logarithme népérien de $k(t)=\frac{K(t)}{L(t)}$ par rapport au temps :$$\ln (k(t))=\ln (K(t))-\ln (L(t))⟹\frac{\dot{k}(t)}{k(t)}=\frac{\dot{K}(t)}{K(t)}-\frac{\dot{L}(t)}{L(t)}$$
3. Multiplions par $k(t)$ et remplaçons $\dot{L}(t)=nL(t)$ :$$\dot{k}(t)=\frac{\dot{K}(t)}{L(t)}-nk(t)$$
4. En isolant $\dot{K}(t)=sY(t)-\delta K(t)$ grâce à la loi d'accumulation du capital ($I=S$) :$$\frac{\dot{K}(t)}{L(t)}=s\frac{Y(t)}{L(t)}-\delta \frac{K(t)}{L(t)}=sk(t{)}^{\alpha }-\delta k(t)$$
5. On obtient l'équation différentielle fondamentale d'accumulation du capital par tête :$$\dot{k}(t)=sk(t{)}^{\alpha }-(n+\delta )k(t)$$

Détermination de l'état stationnaire $k^{\ast }$ : À l'état stationnaire, le stock de capital par tête est constant ($\dot{k}(t)=0$).

$$s(k^{\ast }{)}^{\alpha }-(n+\delta )k^{\ast }=0⟺s(k^{\ast }{)}^{\alpha }=(n+\delta )k^{\ast }⟺(k^{\ast }{)}^{1-\alpha }=\frac{s}{n+\delta }$$$$k^{\ast }={\left(\frac{s}{n+\delta }\right)}^{\frac{1}{1-\alpha }}$$

La convergence et la stabilité de cet état stationnaire sont garanties par les conditions d'Inada.

Le deuxième modèle de Solow (avec progrès technique)

Pour intégrer la PGF, Solow (1957) introduit le progrès technique exogène $A(t)$ sous forme d'efficacité du travail (labor-saving). La technologie croît à un taux constant exogène $\gamma >0$ ($\frac{\dot{A}(t)}{A(t)}=\gamma$). La fonction de production agrégée prend la forme suivante :

$$Y(t)=K(t{)}^{\alpha }(A(t)L(t){)}^{1-\alpha }$$

Démo : Équation d'accumulation du capital par unité de travail effectif (Exercice 1, Question 1)

Définissons le capital par unité de travail effectif par $\hat{k}(t)=\frac{K(t)}{A(t)L(t)}$.

1. Prenons le logarithme népérien de $\hat{k}(t)$ :$$\ln (\hat{k}(t))=\ln (K(t))-\ln (A(t))-\ln (L(t))$$
2. Dérivons par rapport au temps $t$ pour faire apparaître les taux de croissance :$$\frac{\dot{\hat{k}}(t)}{\hat{k}(t)}=\frac{\dot{K}(t)}{K(t)}-\frac{\dot{A}(t)}{A(t)}-\frac{\dot{L}(t)}{L(t)}=\frac{\dot{K}(t)}{K(t)}-\gamma -n$$
3. Multiplions l'expression par $\hat{k}(t)$ :$$\dot{\hat{k}}(t)=\frac{\dot{K}(t)}{A(t)L(t)}-(n+\gamma )\hat{k}(t)$$
4. En injectant la dynamique d'accumulation du capital global $\dot{K}(t)=sY(t)-\delta K(t)$ :$$\frac{\dot{K}(t)}{A(t)L(t)}=s\frac{Y(t)}{A(t)L(t)}-\delta \frac{K(t)}{A(t)L(t)}=sf(\hat{k}(t))-\delta \hat{k}(t)=s\hat{k}(t{)}^{\alpha }-\delta \hat{k}(t)$$
5. On conclut l'équation fondamentale de Solow avec progrès technique :$$\dot{\hat{k}}(t)=s\hat{k}(t{)}^{\alpha }-(n+\delta +\gamma )\hat{k}(t)$$

Démo : Sentier de croissance équilibré (BGP) et état stationnaire (Exercice 1, Question 2)

Sur le sentier de croissance équilibré (Balanced Growth Path ou BGP), le stock de capital par unité de travail effectif s'immobilise ($\dot{\hat{k}}(t)=0$).

6. Posons l'annulation de la dérivée temporelle :$$s({\hat{k}}^{\ast }{)}^{\alpha }-(n+\delta +\gamma ){\hat{k}}^{\ast }=0$$
7. En divisant par ${\hat{k}}^{\ast }\ne 0$ :$$s({\hat{k}}^{\ast }{)}^{\alpha -1}=n+\delta +\gamma ⟺({\hat{k}}^{\ast }{)}^{1-\alpha }=\frac{s}{n+\delta +\gamma }$$
8. La valeur de long terme du capital par unité de travail effectif vaut :$${\hat{k}}^{\ast }={\left(\frac{s}{n+\delta +\gamma }\right)}^{\frac{1}{1-\alpha }}$$

Démo : Taux de croissance de l'économie à l'état stationnaire (Exercice 1, Question 3)

9. Taux de croissance de $\hat{k}$ et $\hat{y}$ : À l'état stationnaire, $\hat{k}(t)={\hat{k}}^{\ast }$ est constant, d'où $g_{\hat{k}}=0$ et $g_{\hat{y}}=0$.
10. Taux de croissance du PIB global $Y(t)$ : Puisque $Y(t)=({\hat{k}}^{\ast }{)}^{\alpha }A(t)L(t)$, appliquons le logarithme népérien :$$\ln (Y(t))=\alpha \ln ({\hat{k}}^{\ast })+\ln (A(t))+\ln (L(t))$$En dérivant par rapport au temps :$$g_Y=\frac{\dot{Y}(t)}{Y(t)}=\alpha \cdot 0+\frac{\dot{A}(t)}{A(t)}+\frac{\dot{L}(t)}{L(t)}=\gamma +n$$Le taux de croissance de la production totale sur le BGP est égal à $g_{Y^{\ast }}=n+\gamma$.
11. Taux de croissance du PIB par habitant $y(t)=\frac{Y(t)}{L(t)}$ :$$y(t)=\frac{({\hat{k}}^{\ast }{)}^{\alpha }A(t)L(t)}{L(t)}=A(t)({\hat{k}}^{\ast }{)}^{\alpha }$$$$\ln (y(t))=\ln (A(t))+\alpha \ln ({\hat{k}}^{\ast })⟹g_y=\frac{\dot{y}(t)}{y(t)}=\frac{\dot{A}(t)}{A(t)}=\gamma$$À long terme, l'élévation du niveau de vie par habitant dépend exclusivement du rythme du progrès technique exogène $\gamma$.

Bien-être, consommation et règle d'or (Golden Rule)

Le bien-être de la population s'évalue à partir du niveau de consommation par habitant et non de la simple accumulation du capital. La consommation par unité de travail effectif s'exprime par $\hat{c}(t)=(1-s)\hat{y}(t)=(1-s)\hat{k}(t{)}^{\alpha }$.

Démo : Règle d'or de l'accumulation du capital et taux d'épargne optimal (Exercice 1, Questions 4 et 5)

1. Expression de la consommation stationnaire : À l'état stationnaire, l'épargne égale l'investissement de renouvellement : $s({\hat{k}}^{\ast }{)}^{\alpha }=(n+\delta +\gamma ){\hat{k}}^{\ast }$. En remplaçant $s({\hat{k}}^{\ast }{)}^{\alpha }$ dans la fonction de consommation ${\hat{c}}^{\ast }=({\hat{k}}^{\ast }{)}^{\alpha }-s({\hat{k}}^{\ast }{)}^{\alpha }$ :$${\hat{c}}^{\ast }=({\hat{k}}^{\ast }{)}^{\alpha }-(n+\delta +\gamma ){\hat{k}}^{\ast }$$
2. Maximisation de la consommation (Règle d'or ${\hat{k}}_g^{\ast }$) : En dérivant ${\hat{c}}^{\ast }$ par rapport à ${\hat{k}}^{\ast }$ et en égalisant cette dérivée à zéro :$$\frac{\mathrm{d}{\hat{c}}^{\ast }}{\mathrm{d}{\hat{k}}^{\ast }}=\alpha ({\hat{k}}^{\ast }{)}^{\alpha -1}-(n+\delta +\gamma )=0$$$$\alpha ({\hat{k}}_g^{\ast }{)}^{\alpha -1}=n+\delta +\gamma ⟺({\hat{k}}_g^{\ast }{)}^{1-\alpha }=\frac{\alpha }{n+\delta +\gamma }$$Le niveau de capital par unité de travail effectif maximisant la consommation s'écrit :$${\hat{k}}_g^{\ast }={\left(\frac{\alpha }{n+\delta +\gamma }\right)}^{\frac{1}{1-\alpha }}$$
3. Calcul du taux d'épargne optimal ($s_g$) : En identifiant l'expression de ${\hat{k}}^{\ast }={\left(\frac{s}{n+\delta +\gamma }\right)}^{\frac{1}{1-\alpha }}$ à la valeur de règle d'or ${\hat{k}}_g^{\ast }$ :$${\left(\frac{s_g}{n+\delta +\gamma }\right)}^{\frac{1}{1-\alpha }}={\left(\frac{\alpha }{n+\delta +\gamma }\right)}^{\frac{1}{1-\alpha }}⟹s_g=\alpha$$Pour maximiser la consommation soutenable de long terme, la société doit choisir un taux d'épargne $s_g$ égal à l'élasticité de la production par rapport au capital $\alpha$.

Rattrapage économique (catch-up) et repoussement de l'état stationnaire

Le progrès technique continu repousse indéfiniment le spectre des rendements décroissants et déplace la fonction de production vers le haut au fil du temps. Le modèle explique ainsi le phénomène de rattrapage (catch-up) ou convergence conditionnelle : les pays en développement situés en deçà de leur état stationnaire bénéficient d'un taux de croissance transitoire plus élevé que les pays développés déjà proches de leur sentier d'équilibre.