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Question

• C'est quoi le point ? Dérivée en fct du temps ?

Exercice 1

1. $\dot{\hat{k}}(t)=sf(\hat{k}(t))-(n+\delta +\gamma )\hat{k}(t)$
3. 1. $y(t)=K(t{)}^{\alpha }(L(t)A(t){)}^{1-\alpha }\to g_y=\alpha g_k+(1-\alpha )(g_l+g_a)=\alpha g_k+(1-\alpha )(n+\gamma )$
   2. $g_{y^{\ast }}=(n+\gamma )(1-\alpha )$
4. Propension à consommer
   1. $\hat{c}(t)=(1-s)f(\hat{k})=(1-s)\hat{y}$. Donc à l'état stationnaire, $\hat{c}(t{)}^{\ast }=(1-s){\widehat{k^{\ast }}}^{\alpha }⟺\hat{c}(t{)}^{\ast }={\widehat{k^{\ast }}}^{\alpha }-(n+\delta +\gamma ){\widehat{k^{\ast }}}^{\alpha }$
   2. Concave + concave = concave. On dérive et on annule la dérivée.
5. Si on remplace k par kg dans l'équation fondamentale ($s.f(k)=(n+\delta +\gamma )k$)

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Exercice 2

On a $Y=F(K,hL)=K^{\alpha }(hL{)}^{1-\alpha }$ $\tilde{k}=\frac{K}{hL}$ et $y=\frac{Y}{L}$

1. $\tilde{y}=\frac{K^{\alpha }(hL{)}^{1-\alpha }}{hL}=(\frac{K}{hL})={\tilde{k}}^{\alpha }$$\dot{\tilde{k}}=s\tilde{y}-(n+g+\sigma )\tilde{k}$

Note : k . ~ / k ~ = K . / K - L . / L

2. k ~ . = 0 ; k ~ * = n / s ^1 / \alpha - 1 = s / n ^1 / 1 - \alpha
3. y = Y / L, y = h \times f(k ~) h (s/n) ^alpha / 1 - alpha
4. $g_y=\frac{\dot{y}}{y}$ et $y={\tilde{k}}^{\alpha }h$ donc $ln(y)=\alpha ln(\tilde{k})+ln(h)$$\Rightarrow \frac{\dot{y}}{y}=\alpha \frac{\dot{k}}{\tilde{k}}+\frac{\dot{h}}{h}$ Or h/h vaux 0, donc on obtient $\alpha \frac{\dot{k}}{\tilde{k}}$ dont on a une valeur à l'exercice 1.

Quand on dérive des logarithmes, on obtient des taux de croissances (instantanés)

Dans ce modèle, l'éducation n'a pas d'effets sur le long terme mais un niveau de prod. plus élevée (pas d'influence sur la manière dont on y arrive car il est à coté.)

L'éducation a donc un role fondamentale dans le rattrapage des pays en dev.

Exercice 3

1. Soit notre fonction de production $Y=K(t{)}^{\beta }A(t)L(t{)}^{1-\beta }$
   1. $Pm{k}^P=\beta K(t{)}^{\beta -1}A(t)L(t{)}^{1-\beta }$ On compare ce qui se passe pour de vrais et pas juste ce qu'ils pensent : $\beta K^{(1-\beta )(ϵ-1)}$.
   2. $PmKP=(\beta +ϵ)K(t{)}^{\beta -1+ϵ}L(t{)}^{1-\beta }$
   3. On note $\beta K(t{)}^{\beta -1}A(t)L(t{)}^{1-\beta }=\beta K(t{)}^{\beta -1+ϵ}L(t{)}^{1-\beta }$. On obtient donc $(\beta +ϵ)K(t{)}^{\beta -1+ϵ}L(t{)}^{1-\beta }\ge \beta K(t{)}^{\beta -1+ϵ}L(t{)}^{1-\beta }$ car $ϵ>0$. Pmks > Pmkp. Puissance > 1 et pas > 0.
2. Soit $ϵ<1$
   1. $r(t)=\rho$

=> Encourager les entreprises à financer avec des aides par exemple. Comme le taux d’intérêt est égal aux choix de la consommation, la banque centrale est aussi responsable. Il faut donc une aide de l'état. Politique d'offre. Transparence et régulation de l'information sur le marché.

Externalités

Pas de politiques conjoncturelles

Exercice 4

Exercice 5