Fish Mi-S2

Dérivabilité

Voir dérivées pour les dérivés des fonctions usuelles.

Taux d'accroissement

f est dérivable en a si f admet une limite finie en a. $f^{\prime }(a)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$. On dit que $f$ est ${\mathcal{D}}^k(I)$

• Toute fonction dérivable (à gauche et à droite) est continue
• $(f\circ g{)}^{\prime }(x)=g^{\prime }.f^{\prime }(g(x))$
• $(f^{-1}{)}^{\prime }(b)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(b))}=\frac{1}{f^{\prime }(a)}$

Et là, ribambelle de théorèmes

Théorème de Rolle

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $a<b$. On considère une fonction $f$ telle que :

• $f$ définie et continue sur $[a,b]$
• $f$ dérivable sur $]a,b[$
• ⚠️ $f(a)=f(b)$

---

Alors $\mathrm{\exists }c\in ]a,b[$ tel que $f^{\prime }(c)=0$

Théorème des accroissements finis

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $a<b$. On considère une fonction $f$ telle que :

• $f$ définie et continue sur $[a,b]$
• $f$ dérivable sur $]a,b[$

---

Alors $\mathrm{\exists }c\in ]a,b[$ tel que $f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a)$

Inégalité des accroissements finis - version 1

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $a<b$. On considère une fonction $f$ telle que :

• $f$ définie et continue sur $[a,b]$
• $f$ dérivable sur $]a,b[$
• ⚠️ $\mathrm{\exists }m,M\in \mathbb{R}$ tels que $m\le M$ et $\mathrm{\forall }x\in ]a,b[,m\le f^{\prime }(x)\le M$

---

Alors $\mathrm{\forall }(x,y)\in [a,b{]}^2$ tels que $x<y$, $m(y-x)\le f(y)-f(x)\le M(y-x)$

Inégalité des accroissements finis - version 2

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $a<b$. On considère une fonction $f$ telle que :

• $f$ définie et continue sur $[a,b]$
• $f$ dérivable sur $]a,b[$
• ⚠️ $\mathrm{\exists }k\in {\mathbb{R}}^{+}$ tel que$\mathrm{\forall }x\in ]a,b[,|f^{\prime }(x)|\le |k|$

---

Alors $\mathrm{\forall }(x,y)\in [a,b{]}^2,|f(x)-f(y)|\le k|x-y|$

Fonctions de classe ${\mathbb{C}}^k$

Complexes

Bases

$C=\{a+ib|a,b\in R$ et $i^2=-1\}$

$z$ = $z^{\ast }⟺$ $Re(z)=Re(z^{\ast })$ et $Im(z)=Im(z^{\ast })$

$\sum z^k=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}$

Conjugués & Modules

$\overline{z+z^{\prime }}=\overline{z}+\overline{z^{\prime }}$$z=\overline{z}\iff z\in R$$|z^2|=z\times \overline{z};|ztimes{z}^{\prime }|=|z|times|z^{\prime }|$$|z|=|\overline{z}|$

Racines

Si $w^2=z$, alors $(-w{)}^2=z$.

Théorème d'Alembert-Gauss

$$P(z)=a_n\prod (z-z_k)$$

Arguments

$\theta =arg(z)\iff z=|z|(cos\theta +isin\theta )$

• $arg(z{z}^{\prime })=arg(z)+arg(z^{\prime })$
• $arg(z^n)=n\times arg(z)$
• $arg(1/z)=-arg(z)$
• $arg(\overline{z})=-arg(z)$

Formule de Moivre

$$(cois\theta +isin\theta {)}^n=cps(n\theta )+isin(n\theta )$$