Exercice 3

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Si f est constante, alors $\mathrm{\forall }x\in [a;+\mathrm{\infty }[,f(x)=f(a)$ Or, $\mathrm{\forall }x\in ]a;+\mathrm{\infty }[,g(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ Donc $\mathrm{\forall }x\in ]a;+\mathrm{\infty }[,g(x)=0$ Donc g est constante, donc g est croissante.

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Sachant que g est croissante, Montrons que f est constante. En faisant tendre g vers $+\mathrm{\infty }$, on obtient : $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}x-a=-\mathrm{\infty }$

Par quotient de limites, on a $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}g(x)=0$

Or g est croissante. Donc, $\mathrm{\forall }x\in ]a;+\mathrm{\infty },[,g(x)\le 0$

On étude le signe de g(x) : il est du signe de f(x) - f(a). Donc $g(x)\le 0$

• $⟺f(x)-f(a)=0$
• $⟺f(x)\le f(a)$

Or f est croissante, donc $\mathrm{\forall }x\in ]a;+\mathrm{\infty }[,a\le x,f(a)\le f(x)$ Par double inégalité, on a f(a) = f(x) L'égalité est aussi vrai en x = a, on a donc $\mathrm{\forall }x\in [a;+\mathrm{\infty }],f(x)=f(a)$. Donc f est constante.

Exercice 4

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Sachant que f est constante, Montrons que $\mathrm{\forall }(x,y)\in ]0;+\mathrm{\infty }{[}^2,|f(x)-f(y)|\le \frac{1}{x+y}$ F est constante. Donc, $\mathrm{\forall }(x,y)\in ]0;+\mathrm{\infty }{[}^2,|f(x)-f(y)|=0$ De plus, x > 0 et y > 0. Donc $\frac{1}{x+y}>0$. On a bien $\mathrm{\forall }(x,y)\in ]0;+\mathrm{\infty }{[}^2,|f(x)-f(y)|\le \frac{1}{x+y}$

Hint

Ici, on démontre chaque partie une à une, et non toute l'inéquation d'un coup. Cela évite de démontrer quelque chose avec ce que l'on cherche à démontrer.

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Soit a > 0 fixé. On a donc : $\mathrm{\forall }x\in ]0,+\mathrm{\infty }[,|f(x)-f(a)|\le \frac{1}{x+a}$ Donc $(\ast )\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}|f(x)-f(a)|\le \frac{1}{x+a}$

Or, $$\lim\limits_{x \to + \infty} |f(x) - f(a)| = |\lim\limits_{x \to + \infty} f(x) - f(a)| = |\lim\limits_{x \to + \infty} f(x) - \lim\limits_{x \to + \infty}f(a)|$$

Étoile devient

$$(\ast )|\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)-\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(a)|\le 0$$

Comme une valeur absolue est toujours positive, on a

$$(\ast )|\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)-\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(a)|=0$$

Donc $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=f(a)$

Soit b fixé. On trouve de la même manière que $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=f(b)$. Par unicité de la limite, on a f(a) = f(b).f est donc constante !

Exercice 5

Soit $x\ge 0$.

$$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{x+1}+\sqrt{x}=+\mathrm{\infty }$

Par contient de limites, on obtient $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=0^{+}$