Exercice 1

Question 1

X suit une loi de Bernoulli, de succès "succès" et comme paramètres $n=1$ et $p=\frac{2}{5}$. Elle a pour moyenne $\frac{2}{5}$, pour espérance $\frac{2}{5}$ et pour variance $\frac{2}{5}(1-\frac{2}{5})=\frac{6}{25}$.

Question 2

1. $\mathrm{\Omega }=[0,3],{\omega }_i\in \mathrm{\Omega }$
   • $P({\omega }_0)=\frac{27}{125}$
   • $P({\omega }_1)=\frac{54}{125}$
   • $P({\omega }_2)=\frac{36}{125}$
   • $P({\omega }_3)=\frac{8}{125}$
2. • $A_0=\{Y=0\}$
   • $A_1=\{Y=1\}=\frac{12}{125}$
   • $A_2=\{Y=2\}=\frac{18}{125}$
   • $A_3=\{Y=3\}$
3. • $E(Y)=1\times P(Y=0)+3\times P(Y=1)+3\times P(Y=2)+1\times P(Y=3)=\frac{150}{125}=\frac{150}{125}=\frac{6}{5}$
   • $E(Y^2)=?$
   • $V(Y)=E(Y^2)-E(Y{)}^2=\frac{270}{125}$
4. $P(Y=1|Y\ge 1)=\frac{1}{7}$

Question 3

x

Exercice 2

Question 0

X suis une loi géométrique de paramètre $p=\frac{1}{6}$ est $P(X=n)={\frac{5}{6}}^{n-1}+\frac{1}{6}=(1-p{)}^{n-1}\times p$. Il y a $n-1$ échecs pour $1$ succès.

Question 1

Problème : $X(\mathrm{\Omega })={\mathbb{N}}^{\ast }$

• $E(X)=\frac{1}{p}=6$
• $V(X)=\frac{1-p}{p^2}=30$

Suite non corrigée

Exercice 3

Question 1

1. $t_n$ est une fonction (statistique, moyenne empirique)
2. $E(t_n)=\frac{1}{n}\times \sum E(X_i)=\frac{1}{n}\times \mu \times n=\mu$
3. $V(t_n)={\frac{1}{n}}^2\times \sum V(X_i)={\frac{1}{n}}^2\times \mu \times n=\frac{{\sigma }^2}{n}$
4. $V(t_n)$ rend vers 0 quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$. Les variables aléatoires seront de plus en plus similaires (moins en moins dispersées).

Question 2

1. ${\mathrm{\Theta }}_n=\frac{1}{n}\sum (X_i-t_n{)}^2$$=\frac{1}{n}\sum X_i^2-2t_n{X}_i-t_n^2$$=\frac{1}{n}\sum X_i^2-2t_n\times \frac{1}{n}\sum X_i+\frac{1}{n}\times n{t}_n^2$$=\frac{1}{n}\sum X_i^2-2t_n^2+t_n^2$
2. Les lois $X_i$ sont de même loi iid, donc les $X_i^2$ le sont aussi. Donc $\mathrm{\forall }i\in [1,n],E(X_i^2)=E(X_1^2)$ Donc .f.
3. Sachant que $E(X_1)=\mu =E(t_n)$, on ajoute et retranche $(E(X_1){)}^2$ à la formule. $E({\mathrm{\Theta }}_n)=E(X_i^2)-(E(X_1){)}^2-(E(t_n)-(E(X_i){)}^2)$$E({\mathrm{\Theta }}_n)=V(X_i)-V(t_n)$
4. $E({\mathrm{\Theta }}_n)={\sigma }^2-\frac{{\sigma }^2}{n}={\sigma }^2\frac{n-1}{n}$

Exercice 4

Question 0

Cette variable est quantitative, ordinale et continue.

Question 1

La moyenne empirique est $\approx 4.19$ et la variance empirique

La variance vaux $(3,94-4,19{)}^2+(4,06-4,19{)}^2+(4,28-4,19{)}^2+(3,99-4,19{)}^2+(3,74-4,19{)}^2+(4,08-4,19{)}^2+(4,76-4,19{)}^2+(4,62-4,19{)}^2+(4,53-4,19{)}^2+(4,35-4,19{)}^2+(3,99-4,19{)}^2+(4,22-4,19{)}^2+(3,96-4,19{)}^2=1,09$

Question 2

3,74	3,94	3,96	3,99	3,99	4,06	4,08	4,22	4,28	4.35	4.53	4,62	4,76
${\tilde{q}}_{13,\frac{1}{10}}$		${\tilde{q}}_{13,\frac{1}{4}}$				Médiane		${\tilde{q}}_{13,\frac{3}{4}}$		${\tilde{q}}_{13,\frac{9}{10}}$