Loi Normale

Fondements

Définitions

Imaginons que nous voulons dessiner mathématiquement la distribution de la taille chez les hommes. Une telle courbe peut se réaliser avec la loi normale!

Rappel Chapitre 2

$X\hookrightarrow \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$: $f(x|\mu ,{\sigma }^2)\to \frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$

Pour lier la loi à nos données, on estime les paramètres $\mu$ (moyenne) et ${\sigma }^2$ (variance). On peut utiliser un estimateur pour cela.

Propriétés

Toute variable aléatoire suivant une loi normale admet les propriétés suivantes :

1. $\mathbb{P}(X\in ]\mu -\sigma ;\mu +\sigma [)=0,68$
2. $\mathbb{P}(X\in ]\mu -2\sigma ;\mu +2\sigma [)=0,95$
3. $\mathbb{P}(X\in ]\mu -3\sigma ;\mu +3\sigma [)=0,997$

Note

Les égalités ($<$ et $\le$) sont souvent mélangées. Elles ne changent pas la valeur du résultat.

Loi Normale Centrée Réduite

Comment calculer la probabilité sans calculatrice ? Il est possible de standardiser une loi normal avec la formule suivante pour créer une Loi Normale Centrée Réduite

• Standardisation : $Y=\frac{X-\mu }{\sigma }$. On a le droit de faire $\mathbb{P}(X<a)\iff \mathbb{P}(\frac{X-\mu }{\sigma }<\frac{a-\mu }{\sigma })$
• $\mathbb{P}(X\in [a;b])=\mathbb{P}(\tilde{X}\in [\frac{a-\mu }{\sigma };\frac{b-\mu }{\sigma }])$
• $\mathbb{P}(\tilde{X}\le t)=\varphi (t)$
  1. Symétrie : $\mathbb{P}(\tilde{X}<t)=\mathbb{P}(\tilde{X}>-t)=\varphi (t)$
  2. Valeur Absolue : $\mathbb{P}(|\tilde{X}|<t=\mathbb{P}(-t<\tilde{X}<t)=\varphi (t)-\varphi (-t)=\varphi (t)-(1-\varphi (t))=2\varphi (t)-1$

Retour sur le Théorème Centrale Limite

Rappel

1. Soit $S_n=\sum X_i$. $\mathbb{E}(S_n)=n\mu$ et $\mathbb{V}(S_n)=n{\sigma }^2$
2. Soit $S_n^{\ast }=\frac{n\mu -nx}{\sigma \sqrt{n}}$. $\mathbb{E}(S_n^{\ast })=0$ et $\mathbb{V}(S_n^{\ast })=1$

Dans d'autres termes, $\mathrm{\forall }tin\mathbb{R};\mathbb{P}(S_n^{\ast }<t)=\varphi (t)$ et $\mathbb{P}(S_n^{\ast }\in [a,b])\to \varphi (b)-\varphi (a)$. On retrouve alors les résultats du TCL.

Remarque

Tant que les $X_i$ sont d'espérance et de variances finies, peu importe la distribution, on peut utiliser le TCL.