Statistiques Descriptives

Terminologie

Définition

Les statistiques descriptives ont pour but de résumer les informations contenues dans les données

Données : mesures sur des individus issus d'une population.

• Si on étudie toute une population, c'est un recensement
• Si on étudie une partie de cette population, c'est un échantillon.

Représentation des données

Variables discrètes

Deux types de variables existent : les variables qualitatives (ou catégorielles), par exemple le nom ou la couleur des yeux, et les variables quantitatives, qui sont numériques et mesurables.

Plus précisément, si on étudie $n$ individus avec des valeurs $x_1,\dots ,x_n$, on peut regrouper les observations en modalités $E=\{e_1,\dots ,e_k\}$. La fréquence absolue de la modalité $e_j$ est le nombre d'individus $n_j$ pour lesquels la variable vaut $e_j$ :

$$n_j=\sum _{i=1}^n\mathbb{1}\{x_i=e_j\}$$

La fréquence relative associée est ${\displaystyle \frac{n_j}{n}}$.

Variables continues

Dans certains cas, les valeurs numériques varient beaucoup et les petits changements ne sont pas informatifs. On peut alors partitionner, c.-à-d. créer des catégories (appelées classes) :

$$A=\{[a_{i-1},a_i[{\}}_{i=1}^k$$

L'effectif de la classe $[a_{j-1},a_j[$ est

$$n_j=\sum _{i=1}^n\mathbb{1}\{x_i\in [a_{j-1},a_j[\}.$$

Ces données sont facilement représentables par des histogrammes.

Les histogrammes permettent d'afficher des informations complémentaires. Le mode est la classe la plus représentée. On peut calculer les effectifs cumulés avec

$$N_j=\sum _{l=1}^j{n}_l.$$

Lien avec les probas

On peut alors définit une fonction de répartition empirique qui va calculer pour un échantillon $x_1,...,x_n$ :

$$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},F_n(x)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\mathbb{1}\{x_i<x\}$$

Lien avec la fonction de répartition

Si on note nos données triés dans l'orde (usuellement $x_1^{\ast },...,x_n^{\ast }$), on a alors:

$$F(x)=\{\begin{array}{l}0\text{ si }x<x_1^{\ast }\\ \frac{i}{n}\text{ si }{x}_i^{\ast }\le x\le x_{i+1}^{\ast }\\ 1\text{ si }{x}_n^{\ast }<x\end{array}$$

Indicateurs Statistiques

Indicateurs de localisation

Voici différentes formules d'indicateurs statistiques :

Moyenne empirique

$${\overline{x}}_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

Valeurs extrêmes :

$x_1^{\ast }=\underset{i\in [1,n]}{min}{x}_i$ et $x_n^{\ast }=\underset{i\in [1,n]}{max}{x}_i$

Médiane Empirique

• Si n est impair, ${\tilde{x}}_n=x_{\frac{n+1}{2}}^{\ast }$
• Si n est pair, ${\tilde{x}}_n=\frac{1}{2}(x_{\frac{n}{2}}^{\ast }+x_{\frac{n+1}{2}}^{\ast })$

Indicateurs de dispersion/variabilité

Variable / écart type empirique

$$s_n^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-{\overline{x}}_n{)}^2$$$$s_n=\sqrt{s_n^2}$$

Étendue

$$e_n=x_n^{\ast }-x_1^{\ast }$$

Quantiles empiriques

$$\mathrm{\forall }p\in ]0,1[,{\tilde{q}}_{n,p}=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{2}}(x_{np}^{\ast }+x_{np+1}^{\ast })& \text{si }np\in \mathbb{N},\\ x_{\lfloor np\rfloor }^{\ast }& \text{sinon}.\end{array}$$

Elles généralisent la médiane (${\tilde{q}}_{n,\frac{1}{2}}$). En pratique, on utilise souvent les quantiles $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}$ et $\frac{3}{4}$, $\frac{1}{10}$ et$\frac{9}{10}$ utiles pour les boîtes à moustaches.

==// Pas de lib graphique==

Éléments d'analyse d'étude statistique

Lorsque nous analysons des données ou leurs représentations, il est important de se poser quelques questions :

• Introspection : Suis-je objectif ? Quels biais peuvent affecter mon interprétation ? Ai-je fait preuve de discernement ?
• Perspective : Ai-je considéré un contexte plus large ? Quelles sont les interprétations possibles et les contre-interprétations ? Les résultats concordent-ils avec d'autres études ?
• Qualité de la présentation : La visualisation et les indicateurs sont-ils pertinents ? Quelles informations manquent (taille de l'échantillon, méthode de collecte...) ?
• Source : Qui publie les données ? La source est-elle fiable ? Comment l'étude a-t-elle été financée ? Existe-t-il des études contradictoires ?