FICHE DE COURS N°1 - LES SÉRIES NUMÉRIQUES

Dans ce chapitre, nous considérons des suites $(u_n)$ à valeurs dans $\mathbb{R}$.

I. SÉRIES NUMÉRIQUES

A. DÉFINITIONS

Définition 1

Étant donnée une suite $(u_n{)}_{n\ge n_0}$, on appelle série de terme général $u_n$, notée $\sum _{n\ge n_0}{u}_n$ ou $\sum u_n$ lorsque $n_0=0$, la suite des sommes partielles $(S_n{)}_{n\ge n_0}$ où pour tout entier naturel $n\ge n_0$, on a :

$$S_n=\sum _{k=n_0}^n{u}_k$$

Exemple 1

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n\ge 1$ par $u_n=\frac{1}{n}$. La série de terme général $u_n$ est notée $\sum _{n\ge 1}\frac{1}{n}$, et est appelée la série harmonique. Les premières sommes partielles sont :

$$S_1=1,S_2=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2},S_3=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{11}{6},\dots$$

Définition 2

On dit que $\sum u_n$ converge si la suite $(S_n)$ admet une limite finie dans $\mathbb{R}$. Dans ce cas, la limite de la suite $(S_n)$ est appelée somme de la série, et est notée $\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k$. On a ainsi :

$$\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=0}^n{u}_k$$

Dans le cas contraire, on dit que la série diverge.

Exemple 2

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=0,5^n$. Alors $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},S_n=\sum _{k=0}^{n}0,5^k=\frac{1-0,5^{n+1}}{1-0,5}=2(1-0,5^{n+1})$. Puisque $-1<0,5<1$, on a $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}0,5^{n+1}=0$, donc la série $\sum _{n\ge 0}0,5^n$ converge vers 2 car $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}0,5^k=2$.

Remarque 1

Étudier la nature d'une série, c'est déterminer si la série converge ou diverge.

Attention

Les sommes infinies ne se manipulent pas comme les sommes finies (puisqu'en réalité, ce sont des limites, et il faut donc toujours s'assurer de la convergence). En effet, l'écriture $\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k$ n'a de sens que si la série converge, alors que l'écriture $\sum u_n$ a bien un sens, puisqu'elle désigne une suite. C'est pourquoi on calculera (presque) toujours les sommes partielles, qui sont des sommes finies, avant de passer à la limite.

Exemple 3

Montrer que la série harmonique, de terme général $\frac{1}{n}$ est divergente. Pour tout $n\ge 1$, notons $H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$, et soit $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ :

$$\ln (k+1)-\ln (k)=\ln \left(\frac{k+1}{k}\right)=\ln (1+\frac{1}{k})\le \frac{1}{k}$$

Ainsi, pour tout $k\ge 1$, $\ln (k+1)-\ln (k)\le \frac{1}{k}$ En additionnant ces inégalités membre à membre, on obtient :

$$\sum _{k=1}^n\ln (k+1)-\ln (k)\le \sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$$

La somme de gauche étant une somme télescopique, on a :

$$\sum _{k=1}^n\ln (k+1)-\ln (k)=\ln (n+1)-\ln 1=\ln (n+1)$$

Ainsi, pour tout $n\ge 1$, $H_n\ge \ln (n+1)$. Puisque $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\ln (n+1)=+\mathrm{\infty }$, par comparaison on a $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}=+\mathrm{\infty }$.

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B. PROPRIÉTÉS

Proposition 1

1. On ne change pas la nature d'une série (convergente ou divergente) en supprimant un nombre fini de termes.
2. Si la série $\sum _{n\ge n_0}{u}_n$ converge alors $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=0$.

Démonstration partielle (Point 2)

Pour tout $n$, notons $S_n=\sum _{k=0}^n{u}_k$. Alors, pour tout $n\ge 1$, on a $u_n=S_n-S_{n-1}$. Si la série $\sum u_n$ converge, alors la suite $(S_n)$ admet, par définition, une limite que l'on note $S$. Mais alors $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{S}_{n-1}=S$, et donc $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=S-S=0$.

Attention

La réciproque de cette proposition est fausse. En effet, on a vu que la série harmonique diverge, alors que $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0$.

Remarque 2

La contraposée de cette proposition dit que si $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n\ne 0$, alors la série $\sum _{n\ge n_0}{u}_n$ diverge. (On parle de divergence grossière).

Exemple 4

La série $\sum \frac{2n}{n+1}$ diverge car $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2n}{n+1}=2\ne 0$.

Proposition 2 (admise)

1. Si les séries $\sum _{n\ge n_0}{u}_n$ et $\sum _{n\ge n_0}{v}_n$ convergent alors $\sum _{n\ge n_0}(u_n+v_n)$ converge et dans ce cas :

   $$\sum _{n\ge n_0}(u_n+v_n)=\sum _{n\ge n_0}{u}_n+\sum _{n\ge n_0}{v}_n$$

2. Soit $\lambda \in {\mathbb{R}}^{\ast }$, les séries $\sum _{n\ge n_0}{u}_n$ et $\sum _{n\ge n_0}\lambda u_n$ sont de même nature, et si la série $\sum _{n\ge n_0}{u}_n$ converge alors :

   $$\sum _{n=n_0}^{+\mathrm{\infty }}\lambda u_n=\lambda \sum _{n=n_0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n$$

Attention

La réciproque du 1er point est fausse. En effet, les séries $\sum _{n\ge 1}\frac{1}{n}$ et $\sum _{n\ge 1}-\frac{1}{n}$ sont toutes deux divergentes alors que la série $\sum _{n\ge 1}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n})$ converge vers 0.

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C. SÉRIES À TERMES POSITIFS

Dans toute cette partie $(u_n)$ et $(v_n)$ désignent deux suites à termes positifs.

Proposition 3

La série $\sum _{n\ge n_0}{u}_n$ est convergente, si et seulement si, la suite des sommes partielles $(S_n)$ est majorée.

Démonstration

Notons $S_n=\sum _{k=0}^n{u}_k$. On a alors $S_{n+1}-S_n=u_{n+1}$ et $u_{n+1}>0$. La suite $(S_n)$ est donc croissante. D'après les théorèmes sur les suites monotones, $(S_n)$ converge si et seulement si la suite $(S_n)$ est majorée.

Remarque 3

Pour majorer $(S_n)$, on commence en général par majorer $(u_n)$. On somme alors ces majorants pour en déduire un majorant de $(S_n)$. On dispose ainsi du théorème suivant :

Proposition 4 (Théorèmes de comparaison)

Si pour tout $n\ge n_0$, on a $0\le u_n\le v_n$, alors :

• si la série $\sum v_n$ converge, la série $\sum u_n$ est également convergente. Dans ce cas, $\sum _{k=n_0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k\le \sum _{k=n_0}^{+\mathrm{\infty }}{v}_k$.
• si la série $\sum u_n$ diverge, alors la série $\sum v_n$ est également divergente.

Démonstration

Si on note $S_n=\sum _{k=n_0}^n{u}_k$ et $T_n=\sum _{k=n_0}^n{v}_k$, on a, pour tout $n\ge n_0$ : $S_n\le T_n$ (addition des inégalités). De plus, la suite $(T_n)$ est également croissante, de limite $T$. Donc pour tout $n\ge n_0$, $T_n\le T$. Donc $\mathrm{\forall }n\ge n_0$, $S_n\le T_n\le T$. La suite $(S_n)$ est donc majorée, et d'après le théorème précédent, la série $\sum u_n$ converge. L'inégalité précédente donne alors $\sum _{n=n_0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{S}_n\le T=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{T}_n=\sum _{n=n_0}^{+\mathrm{\infty }}{v}_n$.

Proposition 5 (admise)

Si $u_n\underset{+\mathrm{\infty }}{\sim }{v}_n$ alors $\sum _{n\ge n_0}{u}_n$ et $\sum _{n\ge n_0}{v}_n$ sont de même nature.

Exemple 5

La série $\sum _{n\ge 1}\frac{n+1}{3n^2+n+1}$ est à termes positifs. De plus $\frac{n+1}{3n^2+n+1}\underset{+\mathrm{\infty }}{\sim }\frac{1}{3n}$ et $\sum _{n\ge 1}\frac{1}{3n}$ est une série divergente donc la série $\sum _{n\ge 1}\frac{n+1}{3n^2+n+1}$ diverge.

Proposition 6 (Règle de d'Alembert)

Soit $(u_n)$ une suite réelle tel que $u_n>0$ pour tout entier naturel $n$. On suppose $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\ell$. On a alors les assertions suivantes :

• Si $\ell <1$, la série de terme général $u_n$ est convergente.
• Si $\ell >1$, la série de terme général $u_n$ est divergente.
• Si $\ell =1$, nous ne pouvons pas conclure.

Démonstration

$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}$ tel que $\mathrm{\forall }n\ge N$, $|\frac{u_{n+1}}{u_n}-\ell |<\epsilon$. On en déduit que $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}$ tel que $\mathrm{\forall }n\ge N$, $(\ell -\epsilon )u_n<u_{n+1}<(\ell +\epsilon )u_n$. On en déduit encore que : $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}$ tel que $\mathrm{\forall }n\ge N$, $(\ell -\epsilon {)}^{n-N}{u}_N<u_n<(\ell +\epsilon {)}^{n-N}{u}_N$.

Supposons maintenant que $\ell <1$, et soit $\epsilon =\frac{1-\ell }{2}$. Alors $\epsilon >0$, il existe donc $N\in \mathbb{N}$ tel que $\mathrm{\forall }n\ge N$, $u_n<(\ell +\epsilon {)}^{n-N}{u}_N$. Or la série de terme général $(\ell +\epsilon {)}^{n-N}{u}_N={\left(\frac{\ell +1}{2}\right)}^{n-N}{u}_N$ est convergente (on reconnaît le terme général d'une série géométrique convergente), donc la série de terme général $u_n$ est convergente.

Si $\ell >1$, on raisonne de même avec $\epsilon =\frac{\ell -1}{2}>0$, et on a $\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}$ tel que $\mathrm{\forall }n\ge N$, ${\left(\frac{\ell +1}{2}\right)}^{n-N}{u}_N<u_n$. Or la série de terme général ${\left(\frac{\ell +1}{2}\right)}^{n-N}{u}_N$ est divergente (on reconnaît le terme général d'une série géométrique divergente), donc la série de terme général $u_n$ est divergente.

Exemple 6

$\sum \frac{2^{n}n!}{n^n}$ est une série à termes positifs, et $\frac{u_n}{u_{n+1}}=\frac{2^{n}n!}{n^n}\times \frac{(n+1{)}^{n+1}}{2^{n+1}(n+1)!}=\frac{1}{2}{\left(\frac{n+1}{n}\right)}^n$. Or $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}n\ln (1+\frac{1}{n})=1$, donc $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\frac{e}{2}$ et donc $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)=\frac{2}{e}<1$. Ce qui prouve que la série converge et donc $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(\frac{2^{n}n!}{n^n}\right)=0$.

Proposition 7 (Théorème de Fubini)

Soit $(u_{ij}{)}_{(i,j)\in {\mathbb{N}}^2}$ une suite double positive. On suppose que $\mathrm{\forall }i\in \mathbb{N},\sum _{j\in \mathbb{N}}{u}_{ij}$ converge et $\sum _{i\in \mathbb{N}}\left(\sum _{j=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_{ij}\right)$ converge. On a alors : $\mathrm{\forall }j\in \mathbb{N},\sum _{i\in \mathbb{N}}{u}_{ij}$ converge, $\sum _{j\in \mathbb{N}}\left(\sum _{i=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_{ij}\right)$ converge et $\sum _{i=0}^{+\mathrm{\infty }}\sum _{j=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_{ij}=\sum _{j=0}^{+\mathrm{\infty }}\sum _{i=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_{ij}$.

Remarque 4

Ce théorème signifie que l'on peut échanger deux limites, ce qui n'est pas possible en règle générale.

Exemple 7

On pose pour tout $(i,j)\in {\mathbb{N}}^2$,

$$a_{ij}=\{\begin{array}{ll}1& \text{si }i=j\\ -1& \text{si }j=i+1\\ 0& \text{sinon}\end{array}$$

$\mathrm{\forall }i\in \mathbb{N},\sum _{j\in \mathbb{N}}{a}_{ij}$ converge et vaut 0, donc $\sum _{i\in \mathbb{N}}\left(\sum _{j=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_{ij}\right)$ converge et vaut 0.

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D. SÉRIES ALTERNÉES

Proposition 8

Soit $(u_n)$ une suite réelle décroissante convergeant vers 0. Alors la série $\sum (-1{)}^n{u}_n$ est convergente.

Démonstration

Soit $n\in \mathbb{N}$. Les relations $S_{2n+2}=S_{2n}-u_{2n+1}+u_{2n+2}$ et $S_{2n+3}=S_{2n+1}+u_{2n+2}-u_{2n+3}$, ainsi que la décroissance de la suite $(u_n)$ entraînent : $S_{2n+2}\le S_{2n}$ et $S_{2n+1}\le S_{2n+3}$. La suite $(S_{2n+1})$ est donc croissante et $(S_{2n})$ est décroissante. Par ailleurs, on a : $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},S_{2n}-S_{2n+1}=u_{2n+1}$, donc $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(S_{2n}-S_{2n+1})=0$. Les suites $(S_{2n})$ et $(S_{2n+1})$ sont ainsi adjacentes, donc convergent vers un même réel $S$. Cela prouve la convergence de la suite $(S_{2n})$ et donc de la série $\sum (-1{)}^n{u}_n$.

Exemple 8

Pour tout $\alpha >0$, la série $\sum _{n\ge 1}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^{\alpha }}$ converge.

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II. SÉRIES DE RÉFÉRENCE

A. SÉRIES GÉOMÉTRIQUES ET DÉRIVÉES

Définition 3

Pour tout entier $q$, la série $\sum q^n$ s'appelle série géométrique de raison $q$.

Proposition 9

La série $\sum q^n$ est convergente si et seulement si $|q|<1$. Dans ce cas, $\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{q}^n=\frac{1}{1-q}$. Plus généralement, la série $\sum _{n\ge p}{q}^n$ est convergente si et seulement si $|q|<1$, et dans ce cas, $\sum _{n=p}^{+\mathrm{\infty }}{q}^n=\frac{q^p}{1-q}$.

Démonstration

La suite $(q^n)$ converge vers 0 si et seulement si $|q|<1$. Par condition nécessaire de convergence, la série $\sum q^n$ ne peut pas converger si $|q|>1$. Supposons alors que $|q|<1$. Notons $S_n=\sum _{k=0}^n{q}^k$. On a $S_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$. Or, $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{q}^{n+1}=0$ car $|q|<1$, donc la suite $(S_n)$ converge vers $\frac{1}{1-q}$ : la série converge, et sa somme vaut $\frac{1}{1-q}$.

Proposition 10

1. La série $\sum _{n\ge 1}n{q}^{n-1}$ converge si et seulement si $|q|<1$. Dans ce cas, $\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}n{q}^{n-1}=\frac{1}{(1-q{)}^2}$ (série géométrique dérivée première).
2. La série $\sum _{n\ge 2}n(n-1)q^{n-2}$ converge si et seulement si $|q|<1$. Dans ce cas, $\sum _{n=2}^{+\mathrm{\infty }}n(n-1)q^{n-2}=\frac{2}{(1-q{)}^3}$ (série géométrique dérivée deuxième).

Démonstration (Point 1)

Si $|q|>1$, la suite $(n{q}^{n-1})$ ne converge pas vers 0, donc la série $\sum _{n\ge 1}n{q}^{n-1}$ ne peut converger. Pour tout $x\in ]-1;1[$, notons $T_n(x)=\sum _{k=0}^n{x}^k$. $T_n$ est une fonction dérivable sur $]-1;1[$, et on a $T_n^{\prime }(x)=\sum _{k=1}^{n}k{x}^{k-1}$. D'autre part, $T_n(x)=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$. On a donc également :

$$T_n^{\prime }(x)=\frac{-(n+1)x^n(1-x)+(1-x^{n+1})}{(1-x{)}^2}=\frac{1-(n+1)x^n+n{x}^{n+1}}{(1-x{)}^2}$$$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}|n{x}^n|=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}n|x{|}^n=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}n{e}^{n\ln |x|}=\frac{1}{\ln |x|}\underset{X\to -\mathrm{\infty }}{lim}X{e}^X$$

En posant $X=n\ln |x|$ ($\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}X=-\mathrm{\infty }$ car $\ln |x|<0$). Or $\underset{X\to -\mathrm{\infty }}{lim}X{e}^X=0$, donc $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}|n{x}^n|=0$. On en déduit que $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}n{x}^n=0$. Ce qui prouve que $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(n+1)x^n=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}n{x}^n+\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^n=0$ et que : $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}n{x}^{n+1}=x\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}n{x}^n=0$. On en déduit que $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{T}_n^{\prime }(x)=\frac{1}{(1-x{)}^2}$. Ainsi, la série $\sum _{n\ge 1}n{x}^{n-1}$ converge, et on a bien $\sum _{n\ge 1}n{x}^{n-1}=\frac{1}{(1-x{)}^2}$.

Remarque 5

On remarque que $n{q}^n=qn{q}^{n-1}$ et que $n(n-1)q^n=q^{2}n(n-1)q^{n-2}$. Ainsi, si $|q|<1$, les séries $\sum n{q}^n$ et $\sum n(n-1)q^n$ convergent également, et :

$$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}n{q}^n=\frac{q}{(1-q{)}^2}\text{et}\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}n(n-1)q^n=\frac{2q^2}{(1-q{)}^3}$$

B. SÉRIES DE RIEMANN

Définition 4

La série de terme général $\frac{1}{n^{\alpha }}$ ($\alpha \in \mathbb{R}$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) est appelée série de Riemann.

Proposition 11 (admise)

La série de Riemann $\sum _{n\ge 1}\frac{1}{n^{\alpha }}$ converge si et seulement si $\alpha >1$.

Exemple 9

La série $\sum _{n\ge 1}\frac{1}{n^2}$ est une série de Riemann convergente.

C. SÉRIE EXPONENTIELLE

Définition 5

La série de terme général $\frac{x^n}{n!}$ ($x\in \mathbb{R}$, $n\in \mathbb{N}$) est appelée série exponentielle.

Proposition 12 (admise)

Pour tout réel $x$, la série exponentielle $\sum \frac{x^n}{n!}$ converge, et on a : $\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=e^x$.

Méthode

Pour déterminer si une série converge ou non, et éventuellement calculer sa limite, on essaiera de la comparer à une des séries usuelles (géométriques, Riemann ou exponentielle).

Exemple 10

Déterminer la nature de la série de terme générale $u_n=\frac{(-3{)}^{n+1}}{n!}$. Remarquons tout d'abord que $u_n=-3\frac{(-3{)}^n}{n!}$. La série $\sum _{n\ge 0}\frac{(-3{)}^n}{n!}$ converge puisqu'il s'agit de la série exponentielle, et sa somme vaut $e^{-3}$. La série $\sum _{n\ge 0}{u}_n$ converge donc, et $\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-3{)}^{n+1}}{n!}=-3e^{-3}$.

Remarque 6

Par décalage d'indice, on a également, pour tout réel $x$, $\sum _{n\ge 1}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$ converge et,

$$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=e^x$$

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III. SÉRIES ABSOLUMENT CONVERGENTES

Définition 6

On dit que la série $\sum u_n$ est absolument convergente, ou converge absolument, si la série à terme réels positifs $\sum |u_n|$ est convergente.

Proposition 13

Toute série absolument convergente est convergente.

Démonstration

Soit $(u_n)$ telle que la série $\sum |u_n|$ converge. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, les réels $u_n^{+}=\frac{|u_n|+u_n}{2}$ et $u_n^{-}=\frac{|u_n|-u_n}{2}$ sont positifs et vérifient $u_n=u_n^{+}-u_n^{-}$ et $|u_n|=u_n^{+}+u_n^{-}$. En particulier, $0\le u_n^{+}\le |u_n|$ et $0\le u_n^{-}\le |u_n|$. La convergence de la série de terme général $|u_n|$ entraîne donc la convergence des séries à termes positifs $\sum u_n^{+}$ et $\sum u_n^{-}$. Par suite, $\sum u_n^{+}-u_n^{-}$ est une série convergente, en tant que différence de séries convergentes, donc $\sum u_n$ converge.

Attention

La réciproque est fausse. La série $\sum _{n\ge 1}\frac{(-1{)}^n}{n}$ converge alors qu'elle ne converge pas absolument.

Proposition 14 (admise)

Si $u_n=o(v_n)$, alors la convergence absolue de $\sum v_n$ entraîne celle de $\sum u_n$.

Exemple 11

La série $\sum _{n\ge 1}\frac{\ln n}{n{2}^n}$ est convergente. En effet, comme par croissance comparée, $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln n}{n}=0$, donc $\frac{\ln n}{n{2}^n}=o\left(\frac{1}{2^n}\right)$. Comme la série géométrique, à termes positifs, est convergente, la série $\sum _{n\ge 1}\frac{\ln n}{n{2}^n}$ converge (absolument).

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English Vocabulary

Asymptotics and Sequences

• If $f$ is asymptotically equivalent to $g$ for $x$ tending to $c$, we use the notation $f\sim g$, $x\to c$.
• If $f$ is negligible with respect to $g$ when $x$ goes to $c$, the symbol $f=o(g)$, $x\to c$, is used, spoken « $f$ is little o of $g$ for $x$ tending to $c$ ».
• $\{u_n\}$ ($u_n$ is in braces) represents the sequence that can be generated by using $u_n$ as the $n$th term.
• The sum $S=\sum _{i=1}^{+\mathrm{\infty }}{a}_i$ is an infinite series. Its value, if one exists, is the limit of the sequence of partial sums $\{s_n\}$ with $s_n=\sum _{i=1}^n{a}_i$. In that case, the series is said to be convergent. If not, the series is divergent.
• For example, the series $\sum _{n\ge 1}a{r}^{n-1}$, where $a$ and $r$ are constant, is a geometric series.
• The series $\sum _{n\ge 1}\frac{1}{n^p}$, where $p$ is a constant, are called $p$ series.
• The series with $p=1$ is called harmonic series.

Sums, Products and Limits

• The sum $a_1+a_2+\cdots +a_n$ can be written more compactly using sigma notation. We write it as $\sum _{r=1}^n{a}_r$ (read "the sum for $r$ equals 1 up to $n$ of $a_r$" or "the sum of all the terms $a_r$ where $r$ takes the values from 1 to $n$" or "the sum of $a_r$ as $r$ goes from 1 to $n$").
• The sum $\sum _{k=p}^{n}f(k+1)-f(k)$ is called a telescoping sum.
• The pi symbol is used in the same way as the sigma symbol described above, except that succeeding terms are multiplied instead of added.
• $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\ell$ : "the number $\ell$ is the limit of $f(x)$ as $x$ approaches $x_0$".
• $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)={\ell }_1$ : "the number ${\ell }_1$ is the right-hand limit of $f$ at $x_0$".
• $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)={\ell }_2$ : "the number ${\ell }_2$ is the left-hand limit of $f$ at $x_0$".