Séries Numériques

Introduction

Définition

La définition d'une série est la suivante.

Définition

Soit une suite $(u_n)$. Une série de terme général $u_n$, notée $\sum _{n\ge n_0}{u}_n$ (ou $\sum u_n$ lorsque $n_0=0$) est une suite de sommes partielles (elles même notés $(S_n{)}_{n\ge n_0}$) où pour tout entier naturel $n\ge n_0$ on a $S_n=\sum _{k=n_0}^n{u}_k$.

Malgré le symbole de somme, les séries ne sont pas des sommes mais des suites !

On va chercher les natures des séries que nous utilisons, car une certaine nature peut donner accès à plus de propriétés. Étudier la nature d'une suite correspond à trouver sa limite, et on la calcule de la manière suivante :

Définition

La limite d'une série (appelée somme de série) correspond à la limite de la suite $(S_n)$. Si elle est finie, on dit que la série est convergente. Sinon, elle est divergente

Si la limite existe et uniquement si elle existe, on peut alors écrire $\sum _{k_0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k$. On a donc $\sum _{k_0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k=li{m}_{n\to +\mathrm{\infty }}{S}_n$. On calculera donc les sommes partielles avant les limites complètes pour s'assurer de ne pas écrire de contre sens.

Important

Notre but va être de calculer cette limite pour en déduire le comportement de notre série. On va donc beaucoup étudier la suite en elle même, car si la suite stagne, la série va aussi !

Globalement, il faut que la suite "stagne" vers 0 pour que la série stagne, car c'est une suite de sommes et non une suite classique 😃

Propriétés

Il existe plusieurs propriétés "de base" sur les séries :

• On ne change pas la nature d'une série (convergente ou divergente) en supprimant un nombre fini de termes. $\sum _{n>n_1>n_0}\sim \sum _{n>n_0}$
• Si une série de terme général $u_n$ converge, alors $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=0$ (mais pas de réciproques).
• La contraposée est aussi valable, si la limite ne vaut pas 0 alors la suite est divergente (mais pas de réciproques).
• Les séries sont linéaires à condition d'être réelles (donc convergentes). De plus, si la série $\sum v_n=\sum \lambda u_n$, alors $\sum v_n=\lambda \sum u_n$ et la série de $v_n$ a la même nature que celle de $u_n$.

Séries absolument convergentes

Définition

Une série est absolument convergente si $\sum |u_n|$ est convergente.

Séries à termes positifs

De plus, pour des séries strictement croissante (et inversement avec décroissant) :

• Si une série possède un majorant, alors elle est convergente -> on cherche alors un majorant de $u_n$ puis on le somme
• On peut également comparer les séries et les sommes de séries
• Si $u_n\sim v_n$ alors leurs séries sont de même nature.
• Si $u_n=o(v_n)$ et $v_n$ abolument convergente alors leurs séries sont de même nature.
• Si $u_n$ est une suite réelle décroissante convergant vers 0, alors la série $\sum (-1{)}^n{u}_n$ est convergente (suites alternées).

Il est NÉCESSAIRE que le/les suites soient à termes positifs !

Séries de références

Série géométrique

Définition

Une série géométrique est une série de la forme $\sum q^n$

Par définition, la série est convergente si $|q|<1$ et dans ce cas

$$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{q}^n=\frac{1}{1-q}$$

Série géométrique dérivée première

Définition

Une série géométrique dérivée première est une série de la forme $\sum n{q}^{n-1}$ pour $n\ge 1$.

Par définition, la série est convergente si $|q|<1$ et dans ce cas

$$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}n{q}^{n-1}=\frac{1}{(1-q{)}^2}$$

Série géométrique dérivée deuxième

Définition

Une série géométrique dérivée première est une série de la forme $\sum n(n-1)q^{n-2}$ pour $n\ge 2$.

Par définition, la série est convergente si $|q|<1$ et dans ce cas

$$\sum _{n=2}^{+\mathrm{\infty }}n(n-1)q^{n-2}=\frac{2}{(1-q{)}^3}$$

Série de Riemann

Définition

Une série de Reimann est une série de la forme $\sum \frac{1}{n^{\alpha }}$

Par définition, la série est convergente si $\alpha >1$. Il n'y a pas de formule générale pour calculer la somme de la série.

Série exponentielle

Définition

Une série exponetielle est une série de la forme $\sum \frac{x^n}{n!}$

Par définition, la série est toujours convergente et on a

$$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=e^x$$

Méthode

Notre but est presque toujours de calculer la somme des séries et donc de définir leur nature.

Inversion des fractions avec les séries ?