Matrices & Applications Linéaires

Rappels

$\mathbb{K}$ espaces vectoriels

Les $\mathbb{K}$ espaces vectoriels sont des ensembles de vecteurs, où la dimension $p$ correspond aux nombres de vecteurs qui composent la base de cet espace (notons le $E$).

Une base est une combinaison linéaire de vecteurs à la fois libre et génératrice. Libre signifie que aucun de ses vecteurs ne peut s'exprimer comme une combinaison linéaire des autres (donc l'ensemble des scalaires $\lambda$ valent 0). Génératrice signifie que aucun de ses vecteurs ne peut s'exprimer comme une combinaison linéaire des autres.

Intuition : c'est souvent le nombre d'élément d'un vecteur de cet ensemble.

La base canonique est la base la "plus jolie d'un certain espace vectoriel. Par exemple, la base canonique de ${\mathbb{R}}^n$ est $\mathcal{B}=(e_1,e_2,\dots ,e_n)$ tel que $e_i=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)$ (avec $1$ en position $i$).

Matrices

On note ${\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$ l'ensemble des matrices à $n$ lignes et $p$ colonnes. Son rang correspond à son nombre de pivot, ou le nombre de colonnes linéairement indépendantes. é

Applications Linéaires

Une application est dite linéaire si $\mathrm{\forall }x,y\in E^2,f(x+y)=f(x)+f(y)$.

$f(0_e)\ne 0_f\Rightarrow f$ n'est pas une application linéaire

Les applications linéaires peuvent avoir 3 formes particulières

1. Si $E=F$, alors $f$ est un endomorphisme
2. Si $F=\mathbb{R}$, alors $f$ est une forme linéaire
3. Si $f$ est bijective, on dit que $f$ est un isomorphisme

Introduction

Prenons une application linéaire de ${\mathbb{R}}^3$ dans ${\mathbb{R}}^2$. Il est possible de s'affranchir complètement de la formule qui définit l'application en calculant l'image des 3 éléments de sa base :

1. $f(e_1)=f([1,0,0])=(2,1)=2e_1^{\prime }+e_2^{\prime }$
2. $f(e_1)=f([0,1,0])=(1,0)=e_1^{\prime }$
3. $f(e_3)=f([0,0,1])=(0,-1)=-e_2^{\prime }$

Cela ressemble fort fort à des tableaux... Et si on le posait dans une matrice ?

$${\mathcal{M}}_{\mathcal{B},{\mathcal{B}}^{\prime }}(f)=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$$

Cette matrice est LA matrice de $f$ dans les bases $\mathcal{B}$ et ${\mathcal{B}}^{\prime }$. Ce passage est un isomorphisme d'espace vectoriel, c'est donc une action bijective, donc toute matrice possède une application correspondante. Finit les calculs d'applications, on multiplie des matrices pour faire de la magie sur les fonctions ! Et justement, que fait une multiplication de matrices sur leurs applications correspondantes ?

Définition

Soit une application $f$ linéaire de $E$ à $F$ et une application $g$ linéaire de $F$ à $E$. Alors, on a :

$${\mathcal{M}}_{\mathcal{B},{\mathcal{B}}^{\prime }}(g\circ f)={\mathcal{M}}_{\mathcal{B},{\mathcal{B}}^{\prime }}(g)\times {\mathcal{M}}_{{\mathcal{B}}^{\prime },{\mathcal{B}}^{\prime \prime }}(f)$$