Intro: Le modèle de concurrence parfaite

Cette fois ci, c'est bien de la microéconomie. Ce qu'on appelle théorie générale

Dans l'article Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy d'Econometrica, K. Arrow et G. Debreu reprennent les théories de Walras. L'une d'entre elles explique que dans une économie à n marchés, il existe un vecteur de prix qui équilibre l'économie :

P = (\begin{matrix} p_{1} \\ p_{2} \\ . . . \\ p_{n - 1} \\ p_{n} \end{matrix})

Cependant, cette expression n'est pas prouvée. Le but de cet article est de prouver cette équation. À travers leur article, nous allons essayer de comprendre comment cette expression a été formalisée.

Quelles hypothèses sont nécessaires ? Nous sommes dans un modèle de concurrence parfaite d'échanges purs, les agents ne peuvent qu'échanger (il n'y a que des consommateurs, pas de producteurs). Cela permet de se concentrer sur les consommateurs et l'échange, donc pas d'achat et de production à analyser. De plus, dans une économie Walrasienne, la monnaie est neutre.

Le consommateur a deux caractéristiques :

Il est défini par ce qu'il possède. Les consommateurs possèdent tous des dotations initiales (DI) et un droit de propriété existe.
Il est également défini par ses goûts (préférences)

On réfléchit également autour de panier de biens, définis par leur lieu et date de disponibilité.

Note

On trouvera dans ce modèle un grand nombre d'équivalences, qui correspondent à l'idée du troc. Ce modèle est basé sur le troc, il n'y a pas vraiment de monnaie.

Également, toute l'information nécessaire à l'échange des biens est disponible à tous.

Quelques notations :

$i$ est un bien. $i = 1, . . ., n$
$q_{i}$ est la quantité de ce bien, $q_{i} \in R^{+}$
Le panier de bien $Q$ est noté

Q = (\begin{matrix} q_{1} \\ q_{2} \\ . . . \\ q_{n - 1} \\ q_{n} \end{matrix})

Un exemple concret de panier de bien serait le suivant :

Q_{A} = (\begin{matrix} q_{1}^{A} = 0 \\ q_{2}^{A} = 2 \\ q_{3}^{A} = 0 \end{matrix})

On note $≻$ "strictement préféré", $\sim$ "est indifférent à" et $⪰$ "faiblement préféré à", un pré-ordre total.

Warning

$≻$ s'écrit avec une tilde en écriture manuscrit.

On peut tracer des courbes d'indifférences entres les biens (voir ces graphiques au chapitre 5). Se déplacer sur la courbe correspond à prendre un autre panier de bien qui apporte la même satisfaction. Ce choix est guidé par le taux marginal de substitution (TMS). C'est un taux psychologique qui mesure la quantité de bien(s) 2 qui est nécessaire pour compenser la réduction d'une unité de bien 1 tout en maintenant le même niveau de satisfaction.

Example

Dans nos exemples, nous utiliserons une économie avec deux produits. Cela ne changerait rien avec plus de produits.

Si $q_{1}$ fournit 2 d'utilité et $q_{2}$ en fournit 1, il faut abandonner $0, 5 \times q_{1}$ pour $1 \times q_{2}$

Le TMS correspond à la pente de la tangente en ce point.

On choisit un bien dont le prix est fixé à 1 et qui va servir d'étalon de mesure pour fixer les autres prix. Ce bien est appelé numéraire de l'économie, il permet de passer de $\frac{n \times n - 1}{2}$ prix relatifs à $n - 1$ prix.

Le TMS est un taux psychologique. Il permet à l'agent de savoir combien de biens 2 il doit recevoir au minimum pour accepter de l'échanger pour une unité de bien 1.Si cette quantité est moins élevée que ce qu'il était prêt à recevoir, alors ils ne fera pas l'échange.

Example

Toujours avec l'exemple précédent, si $p_{1}$ vaut 2€ et $p_{2}$ vaut 1€, alors tout va bien. Si il faut abandonner plus de $p_{1}$ (si il vaut moins cher), alors le consommateur n'effectuera pas l'échange

Nous avons parlé d'utilité au dessus : il est possible de créer une fonction d'utilité u(.) croissante. Si $u (Q) \geq u (Q^{'})$ alors $Q ⪰ Q^{'}$ . Si $u (Q) = u (Q^{'})$ alors $Q \sim Q^{'}$

Example

Soit $Q_{1} = (8; 2)$ , $Q_{2} = (2; 4)$ et $Q_{3} = (3; 3) .$

$Q_{1} \sim Q_{2}$ et $Q_{1} ≻ Q_{3}$

Est ce que $u_{1} (q_{1}, q_{2}) = q_{1} \times q_{2}^{2}$ fonctionne ? OUI car elle vérifie les 3 axiomes d'au dessus.

N'importe quelle fonction u qui vérifie les conditions du consommateur fonctionne. On regarde l'utilité ordinale (le classement) et non cardinale (la quantité).

Le lien entre courbe d’indifférence & fonction d'utilité est que $u (.)$ permet directement d'obtenir la courbe d’indifférence pour un panier $Q_{0}$ . Dans ce cadre, la courbe d’indifférence est **l'ensemble des paniers [ici à deux biens] pour lesquels on a $(q_{1}, q_{2}) \sim Q_{0}$ (donc $u (q_{1}, q_{2}) = u (Q_{0})$ ).

L'individu $A$ a pour dotation initiale $Q_{0} = (9, 6)$ . Il a pour préférence $u_{A} (q_{1}, q_{2}) = \sqrt{q_{1}} \times q_{2}$ Pour trouver l'équation de la courbe d'indifférence, il faut donc $u_{A} (q_{1}, q_{2}) = u_{A} (Q_{0})$ . Ici $q_{2} = \frac{18}{\sqrt{q_{1}}}$ (de la forme $y = f (x)$ ).

On peut aussi définir des équations avec une autre fonctions, $q_{2} = g (q_{1})$

Pour la démo, on peut également calculer la dérivé partielle :

g^{'} (q_{1}) = - \frac{u_{q_{1}}^{'} (q_{1}, q_{2})}{u_{q_{2}}^{'} (q_{1}, q_{2})}

Et on obtient la formule du TMS

{TMS}_{(q_{1}, q_{2})} = | g^{'} (q_{1}) | = \frac{u_{q_{1}}^{'} (q_{1}, q_{2})}{u_{q_{2}}^{'} (q_{1}, q_{2})}

Qui permet de calculer la quantité de bien $q_{2}$ pour obtenir un bien $q_{1}$

Example

On calcule d'abord le TMS "général" pour la fonction $u_{A} (q_{1}, q_{2}) = \sqrt{q_{1}} \times q_{2}$

{TMS}_{A} = \frac{u_{q_{1}}^{'}}{u_{q_{2}}^{'}} = \frac{\frac{1}{2} \times q_{1}^{- \frac{1}{2}} \times q_{2}}{q_{1}^{\frac{1}{2}}} = \frac{q_{2}}{2 q_{1}}

Puis on l'applique au panier du consommateur

{TMS}_{A} (Q_{0 A}) = \frac{6}{2 \times 9} = \frac{1}{3}

C'est le prix maximal en bien 2 pour obtenir une unité du bien 1

Attention! Ici, si on avait calculé $TMS (q_{2}, q_{1})$ , alors on aurait calculé la quantité de bien 1 pour acheter un bien 2, qui ici aurait valu 3.