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Dossier 1

1. Non répondu en cours
2. $TM{S}_A(q_1,q_2)=\frac{u_{A,q_1}^{\prime }(q_1,q_2)}{u_{A,q_2}^{\prime }(q_1,q_2)}=\frac{2q_2}{q_1}$. Il est donc prêt à abandonner 2 biens $2$ pour 1 bien $1$. $TM{S}_A(3,6)=4$. Il est donc prêt à abandonner 4 biens $2$ pour 1 bien $1$. Pourquoi ? Car préférence à la diversité + sa fonction d'utilité préfère le bien $1$. Si on lui propose 3, il accepte. 5, il refuse.
3. L'équation de la courbe est $y=\alpha x$ (ou $q_2=$)
4. C'est ce qui est dis au dessus, il est prêt à céder deux biens $2$ pour un bien $1$.
5. D'après sont panier de dotation initial, il échangera un maximum de quatre biens $2$ pour un bien $1$. Si le prix est supérieur à 4, il sera prêt à échanger des biens 1 contre des biens 2 (on inverse, $TMS=\frac{1}{4}$, donc il est prêt à échanger un bien $1$ contre 4 biens $2$.
6. $[u_B(q_1,q_2){]}^6=u_A(q_1,q_2)$, les préférences sont donc identiques (les fonctions d'utilités sont ordinales donc on peut les multiplier par des fonctions croissantes). On ne peut pas faire de comparaisons interpersonnelles.
7. $TM{S}_A(3,6)=4$ et $TM{S}_B(3,3)=2$. Entre 2 et 4, B demande du bien $2$ et A en offre. Donc $2\le \text{TEP}\le 4$.

Dossier 2

Questions de texte

1. Chaque individu se concentre sur lui même, donc comment les agents peuvent s'organiser entres eux ? Le système est donc bien décentralisé, mais comment a-t-il de la cohésion ? Le système de prix, cependant, est centralisé autour du commissaire priseur.
2. Les agents économiques sont preneurs de prix (price taker), .Voir le cours.

Étude de cas

1. $R_A=q_1{p}_1+q_2{p}_2=12$

2. $q_2=12-2q_1$

3. Il faut trouver une courbe d'utilité tangente à la droite de budget.

   $$\{\begin{array}{l}TMS(q_1,q_2)=\frac{p_1}{p_2}\\ R=p_1{q}_1+p_2{q}_2\end{array}⟺\{\begin{array}{l}\frac{2q_2}{q_1}=2\\ 12=2q_1+q_2\end{array}⟺\{\begin{array}{l}{q}_2=q_1\\ 3q_1=12\end{array}⟺(q_1^{\ast },q_2^{\ast })=(4,4)$$
4. $$\{\begin{array}{l}TMS(q_1,q_2)=\frac{p_1}{p_2}\\ R=p_1{q}_1+p_2\end{array}⟺\{\begin{array}{l}\frac{2q_2}{q_1}=\frac{p_1}{p_2}\\ 2q_1+q_2=3p_1+6p_2\end{array}⟺\{\begin{array}{l}{q}_1=2+4\frac{p_2}{p_1}\\ q_2=2+\frac{p_1}{p_2}\end{array}$$

   $d_{1A}(p_1,p_2)=2+4\frac{p_2}{p_1}$ et $d_{2A}(p_1,p_2)=2+\frac{p_1}{p_2}$. $o_{1A}=3$ et $o_{2A}=6$.

Détails : dérivation des demandes individuelles (petits d)

Voici la méthode pas-à-pas pour obtenir $d_i(p)$ à partir du problème de chaque consommateur.

Exemple — agent A :

• Hypothèses : on travaille ici avec une utilité donnant $TM{S}_A={\displaystyle \frac{2q_2}{q_1}}$ (par exemple $u_A(q_1,q_2)=q_1^2{q}_2$) et dotation $e_A=(3,6)$, donc $R_A=3p_1+6p_2$.
• Problème du consommateur :$$\underset{q_1,q_2\ge 0}{max}{q}_1^2{q}_2\text{s.c.}{p}_1{q}_1+p_2{q}_2=R_A.$$
• Lagrangien :$$\mathcal{L}=q_1^2{q}_2+\lambda (R_A-p_1{q}_1-p_2{q}_2).$$
• Conditions du premier ordre :$${\partial }_{q_1}:2q_1{q}_2-\lambda p_1=0,{\partial }_{q_2}:q_1^2-\lambda p_2=0.$$
• Élimination de $\lambda$ :$$\frac{2q_1{q}_2}{p_1}=\frac{q_1^2}{p_2}\Rightarrow 2\frac{q_2}{q_1}=\frac{p_1}{p_2}.$$C'est la condition MRS = rapport de prix. On en déduit $q_2={\displaystyle \frac{p_1}{2p_2}}{q}_1$.
• Imposer la contrainte budgétaire :$$p_1{q}_1+p_2{q}_2=p_1{q}_1+p_2(\frac{p_1}{2p_2}{q}_1)=\frac{3}{2}{p}_1{q}_1=R_A.$$Donc $q_1={\displaystyle \frac{2R_A}{3p_1}}$. En remplaçant $R_A=3p_1+6p_2$ on obtient$$d_{1A}(p)=q_1=2+4\frac{p_2}{p_1},d_{2A}(p)=\frac{p_1}{2p_2}{d}_{1A}=2+\frac{p_1}{p_2}.$$

Remarque : la méthode est la même pour tout consommateur — écrire le Lagrangien, obtenir les F.O.C., éliminer $\lambda$, puis utiliser la contrainte budgétaire pour obtenir $d_i(p)$.

Rappels rapides sur l'agrégation (petit e)

• La demande excédentaire d'un bien $i$ est$$e_i(p)=\sum _h{d}_{i,h}(p)-\sum _h{e}_{i,h}^0.$$
• Exemple de substitution (bien 1), en reprenant les demandes utilisées dans les calculs :$$D_1(p)=d_{1A}+d_{1B}=(2+4\frac{p_2}{p_1})+(2+2\frac{p_2}{p_1})=4+6\frac{p_2}{p_1}.$$Avec dotation totale $E_1=3+3=6$ on obtient$$e_1(p)=D_1(p)-E_1=4+6\frac{p_2}{p_1}-6=6\frac{p_2}{p_1}-2.$$La loi de Walras impose $p_1{e}_1+p_2{e}_2=0$, donc $e_2=-(p_1/p_2)e_1$.

Pour résoudre l'équilibre on peut normaliser un prix (par exemple $p_2=1$) et résoudre $e_1(p)=0$ pour trouver le rapport $p_1/p_2$. 5. Tout dépend des prix relatifs et non des prix nominaux (car la monnaie est neutre et les fonctions de demande sont homogènes de degré 0).

Dossier 3

1. Non, car ils n'ont pas les mêmes dotations initiale. Il faut les mêmes D.O. et le mêmes préférences pour être dans un équilibre concurrentiel
2. Il faut que $2\le \frac{p_1}{p_2}\le 4$
3. Si $p_1{e}_1=0$ alors $p_2{e}_2=0$ aussi (Loi de Walras : $p_1{e}_1+p_2{e}_2=0$) $\iff p_1(d_1-o_1)+p_2(d_2-o_2)$$\iff p_1(q_{1A}+q_{1B}-(3+3))+p_2(q_{2A}+q_{2B}-(6+3))$ Rappels : $C{B}_A=3p_1+6p_2$ et $C{B}_B=3p_1+3p_2$. Donc $C{B}_A+C{B}_B=6p_1+9p_2=p_1{e}_1+p_2{e}_2=0$On peut maintenant étudier uniquement un seul marché
4. $e_1(p_1,p_2)=d_1(p_1,p_2)-o_1$$\iff d_{1A}(p_1,p_2)+d_{1B}(p_1,p_2)-(o_{1A}+o_{1B})$$\iff 2+4\frac{p_2}{p_1}+2+2\frac{p_2}{p_1}-(3+3)$$\iff 6\frac{p_2}{p_1}-2$
5. On sais, grâce à la loi de Walras, que $p_1{e}_1+p_2{e}_2=0$. Donc $e_2(p_1,p_2)=-6+2\frac{p_1}{p_2}$
6. $e_1(1,2)=10\ne 0$. Donc les prix ne sont pas équilibrés.
7. $e_1(2,4)=10\ne 0$. Exactement le même rapport, donc les prix ne sont toujours pas équilibrés.
8. Si le bien 2 est numéraire, alors, on exprime le bien 1 en fonction du bien 2. Donc $p_2=1$. L'inverse aurait lieu si on choisis le bien 1
9. $e_1(p_1,1)=0\iff 6\frac{1}{p_1}-2=0\iff p_1=3$ ou $e_1(1,p_2)=0\iff 6p_2-2=0\iff p_2=\frac{1}{3}$
10. Non, car on a fixé $p_2$.
11. $p_1=3et{p}_2=1$ = prix d'équilibre général de concurrence parfaite $Q_A^{\ast }=(d_{1A}(3,1);d_{2A}(3,1))=2+4\frac{1}{3};2+\frac{3}{1}=(\frac{10}{3};5)$. B obtient le reste, donc $(\frac{8}{3};4)$$E{R}^{\ast }=\{(\frac{10}{3};5);(\frac{8}{3};4)\}$
12. Il n'y a aucune possibilité d'échanges, car si il possèdent les mêmes préférences et les mêmes D.O., alors leurs TMS seraient déjà identiques.

Texte : la seule grosse différence est celle du commissaire priseur.

Dossier 4

Exercice 1

1. Les biens sont substituables car Cobb-Douglass.
2. Pour les 3 cas:
   1. 1/3 + 1/3 < 1 donc décroissant
   2. 1/3 + 2/3 = 1 donc constant
   3. 1 + 1/3 > 1 donc croissant
3. Pour les 3 cas, $P_m(q_1)=f_{q_2}^{\prime }(q_1,q_2)=\beta q_1^{\alpha }{q}_2^{\beta -1}$$f^{\prime \prime }{q}_2(q_1,q_2)=\beta (\beta -1)q_1^{\alpha }{q}_2^{\beta -2}$. Tout est positif sauf $(\beta -1)$, donc :
   1. 1/3 - 1 < 0 donc décroissant
   2. 2/3 - 1 < 0 donc décroissant
   3. 1 - 1 = 0 donc constante
4. Sinon, les producteurs produirais sans fin et donc aucun équilibre ne serait possible. Le producteur pense que tout est infini, sa fonction de profit n'a donc théoriquement pas de maximum. Pour que cette augmentation s'arrête à un moment, il faut que le coût vienne à un moment couper son profit.
5. Même chose, mais d'un point de vu production : plus il produit, plus son coût de production est bas.

Exercice 2

1. Les fonctions de production sont cardinales donc on ne peut pas changer la fonction.
2. 1/4 + 1/2 < 1 donc décroissant.
3. $P_m(q_2)=\frac{1}{2}{q}_1^{\frac{1}{4}}{q}_2^{-\frac{1}{2}}$. $\frac{1}{2}-1<0$ et $\frac{1}{4}-1<0$ donc tt les deux décroissant.
4. Voir Le TMST et les rendements d’échelle
5. $TMST(q_1,q_2)=\frac{\alpha q_2}{\beta q_1}=\frac{q_2}{2q_1}$ Il faut donc 2 $q_1$ pour remplacer 1 $q_2$. On résout $f(1,1)=1\iff q_2=\frac{1}{\sqrt{q_1}}$
6. Au panier 1,1, la droite d'isocoûts ne touche pas l'isoquante. Donc pas optimal. Tangente : | pente isocoût au panier | = | TMST au panier |
7. $TMST=\frac{p_1}{p_2}$
8. x
9. Fct Cobb Douglass donc les conditions de second ordre sont validés.

Exercice 3

1. La production est discontinue, donc la 3° fonction ne peut pas être utilisé. Donc la fonction b est la meilleure.
2. Droite $q_1=\frac{1}{2}{q}_2$
3. Cette droite ne dépend pas du prix. Les inputs sont complémentaires, donc il doit éviter un maximum le gaspillage peu importe le prix de ses deux inputs.

Texte John Hicks

Quelques points :

1. Si les inputs ne sont pas substituables, c'est la d. Il n'y a aucun moyen d'optimiser le process.
2. Le capital et le travail suivent les mêmes optimisations, les machines et les humains sont substituables (yes).

Exercice 4

1. La fonction de coût est le coût minimum pour q outputs. $C(q)=p_1{q}_1(q)+p_2{q}_2(q)$.

   $$\{\begin{array}{l}f(q_1,q_2)=q\\ TMST(q_1,q_2)\end{array}⟺C(q)=q^{\frac{4}{3}}.2^{\frac{1}{3}}.\frac{3}{2}$$

2. On dérive C. C' est positive, donc le coût de production augmente avec la quantité produite. C'' positive aussi, donc le coût de production est croissant. Les rendements d'échelle sont décroissant.

3. $\pi (q)=q.p-C(q)$. ${\pi }^{\prime }$

4. k croissant pas possible

5. x

6. rendements d'échelle constant

7. $\{\begin{array}{l}{q}_1^{\frac{1}{2}}{q}_2^{\frac{1}{2}}=1\\ \frac{q_2}{q_1}=\frac{p_1}{p_2}\end{array}⟺\{\begin{array}{l}{q}_1^{\ast }=\sqrt{\frac{p_2}{p_1}}\\ q_2^{\ast }=\sqrt{\frac{p_1}{p_2}}\end{array}$

8. rendements d'échelle constant, donc co$ut unitaire constant? $C(q)=CU\times q=2\sqrt{p_1{p}_2}.q$

9. $\pi (q)=p.q.C(q)$. $\pi (q)=0\iff p=2\sqrt{p_1{p}_2}$. Si $p<2\sqrt{p_1{p}_2}$, s(p) = 0.

10. Si P plus grand, +inf. Si c'est égal, on ne sais pas

Le profit est nul car on est en rendement d'échelle constant.

Dossier 5

Exercice 1

Exercice 2

Partie A

1. x
2. Constant, car même rapport
3. $\overline{L}$ vérifie $f(\overline{L})=1\iff 2\overline{L}=1\iff \overline{L}=\frac{1}{2}$. Donc le coût unitaire est de $\frac{w}{2}$
4. $\pi (s)=p.q-C(Q)=p.q-\frac{w}{2}q=q(p-\frac{w}{2})$. Soit $p<\frac{w}{2}$, alors l'offre et la demande est nulle, $p>\frac{w}{2}$, alors indéfini. Si =, why not.

Partie B

1. Situation pas de travail (autarcique), ou travail (donc avec production)
2. $L^{\ast }=0$ et $q^{\ast }=0\iff w<TMS(12,2)=\frac{1}{6}$. Dans cette situation, le consommateur ne veut pas travailler et le producteur produire un max. Incompatible, donc pas d'équilibre.
3. On sais que $p=\frac{w}{2}$. Le salaire d'équilibre est donc ${\frac{w}{p}}^{\ast }=2$. La quantité de travail globale est de $6-\frac{1}{2}=\frac{11}{2}=L^{\ast }$. $f(\frac{11}{2})=11$.