Concurrence parfaite dans une économie avec production

Les choix du producteur : les techniques de production

Les fonctions de production

Quelques mots de vocabulaire :

• les biens et services sont des outputs.
• les biens intermédiaires sont des inputs.
• une entreprise demande donc des inputs et offre des outputs.

Quels inputs une entreprise peut-elle demander, et à quels prix ?

Dans un monde à $n$ inputs, la fonction de production de l'entreprise ressemble à $f(q_1,q_2,...,q_n)=q$. Attention, l'entreprise regarde également sa demande pour maximiser son profit, et non sa production. La fonction est ici cardinale.

La fonction de production Cobb-Douglass

$q^{\ast }=q_1^{\alpha }\times q_2^{\beta }$

Les isoquantes

On égalise la fonction de production à une certaine quantité d'output. Avec l'équation précédente, une courbe isoquante a pour équation $q_2=\frac{q^{\ast \frac{1}{\beta }}}{q_1^{\frac{\alpha }{\beta }}}$

$q=f(q_1,q_2)=min[q_1,\frac{q_2}{4}]$

Grande hypothèse du modèle de CPP (Concurrence Pure et Parfaite) : aucune fonction de production n'est, dans la vraie vie, une fonction de Cobb-Douglass : elles ne sont pas continues, car on ne produit pas une demi-voiture.

Productivité marginale des inputs

Output en fonction de l'ajout d'un input. Certain inputs sont complémentaires et doivent être pris en compte dans la productivité marginale. L'inverse est substituable.

$P_n(q_i)=f_{q_i}^{\prime }(q_1,q_2,...,q_n)$. Positif mais décroissant.

Example

Avec une fonction Cobb-Douglass :

$f_{q_1}^{\prime }(q_1,q_2)=\alpha q_1^{\alpha -1}\times q_2^{\beta }>0$$f_{q_1{q}_1}^{\prime \prime }(q_1,q_2)=\alpha (\alpha -1)q_1^{\alpha -2}\times q_2^{\beta }\to$ Trois possibilités :

1. $\alpha >1$, croissante, plus de production
2. $\alpha =1$, égual, autant de production
3. $\alpha <1$, décroissant, moins de production

Pour les fonctions Cobb-Douglass, on considère que $\alpha ,\beta \in ]0;1[$

Le TMST et les rendements d’échelle

Le Taux Marginal de Substitution Technique (TMST). Similaire au TMS (Taux marginal de substitution), mais qui regarde la substitution des inputs.

$$TMS{T}_{21}(q_1,q_2)=\frac{f_{q_1}^{\prime }(q_1,q_2)}{f_{q_2}^{\prime }(q_1,q_2)}$$

où $f_{q_i}^{\prime }$ désigne la productivité marginale (marginal product) de l'input $i$.

Pour les fonctions Cobb-Douglass, le TMST vaut ${\displaystyle \frac{\alpha q_2}{\beta q_1}}$

Le rendement d'échelle est un concept utilisé pour mesurer ce qu'il se passe quand on augemente tout les inputs. Échelle car à plus grande échelle. Idem que la fonction Cobb-Douglass

Exemple : Soit $\lambda >0$

• Croissant : $f(\lambda q_1,...,\lambda q_n)>\lambda f(q_1,...,q_n)$

• Décroissant : $f(\lambda q_1,...,\lambda q_n)<\lambda f(q_1,...,q_n)$

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  Pour une fonction de Cobb-Douglass$f(q_1,q_2)=q_1^{\alpha }\times q_2^{\beta }$ :

• Croissant si $\alpha +\beta >1$

• Constant si $\alpha +\beta =1$

• Décroissant si $\alpha +\beta <1$

Les choix du producteur : le programme du producteur

La fonction de profit

Le profit peut être définit par la fonction suivante :

$$\pi =p\times q-(p_1{q}_1+...+p_n{q}_n)$$

Exemple : Soit $f(q_1)=q$

Alors, $\pi (q_1)=p\times q-p_1{q}_1=p\times f(q)-p_1{q}_1$$\pi (q_1,q_2)=p\times f(q_1,q_2)-p_1{q}_1-p_2{q}_2$

Conditions de maximisation du profit

Le producteur va toujours chercher à maximiser cette fonction. Il faut que la dérivé première s'annule et la dérivé seconde soit négative. On trouve donc

$$\{\begin{array}{l}CPO:p.f^{\prime }(q_1)-p_1=0\\ CSO:p.f^{\prime \prime }(q_1)<0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }(q_1)=\frac{p_1}{p}\\ p_n\text{ décroissant}\end{array}$$

Comment faire dans le cas de deux inputs ? On le fait deux fois :

$$CPO:\{\begin{array}{l}{\pi }_{q_1}^{\prime }(q_1,q_2)=0\\ {\pi }_{q_1}^{\prime }(q_1,q_2)=0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }(q_1)=\frac{p_1}{p}\\ f^{\prime }(q_2)=\frac{p_2}{p}\end{array}$$

Il faut également calculer toute les dérivées secondes :

$$CSO:\{\begin{array}{l}{\pi }_{q_1{q}_1}^{\prime \prime }(q_1,q_2)<0\\ {\pi }_{q_1{q}_2}^{\prime \prime }(q_1,q_2)<0\\ {\pi }_{q_2{q}_1}^{\prime \prime }(q_1,q_2)<0\\ {\pi }_{q_2{q}_2}^{\prime \prime }(q_1,q_2)<0\end{array}$$

Les isoquantes sont alors continues, convexes, décroissantes et asymptotes aux axes

On a donc $q^{\ast }=f(q_1^{\ast },q_2^{\ast })$, avec la quantité d'outputs disponible pour la quantité d'inputs la plus optimisée.

Le sentier d'expansion

Pour chaque prix, il y a un vecteur de $q_i^{\ast }$ qui détermine une certaine quantité produite. Il faut que le prix de l'output augmente ou que les prix des inputs diminue pour produire plus.

Le rapport des prix d'équilibre donne le TMST : nouvelle condition de l'équilibre. On retrouve la droite des prix qui coupe le TMST (comme la droite de revenu qui coupait le TMS, voir la page précedente). Quand le commissaire priseur affiche les prix, le producteur peut déterminer un coût de production et peut maximiser son profit et donc définir un $q^{\ast }$

Le programme du producteur et la fonction de coût

De la fonction de production à la fonction de coût

Le producteur peu également, pour maximiser son profit, minimiser ses coûts.

$$C(q)=p_1{q}_1(q)+p_2{q}_2(q)$$

Dans toutes les situations avec la fonction de coût, on réfléchis dans le cadre d'un équilibre partiel : on résonne à prix d'input fixes.

$q_1(q)$ et $q_2(q)$ sont les solutions du système $\{\begin{array}{l}f(q_1,q_2)=q\\ TMST(q_1,q_2)=\frac{p_1}{p_2}\end{array}$. $(q_1,q_2)$ permet donc de produire un panier à moindre coût.

Pour une Cobb-Douglass, la fonction de coût est $C(q)=k.q\frac{1}{\alpha +\beta }$ avec $k=((\frac{\alpha }{\beta }{)}^{\frac{\beta }{\alpha +\beta }}+(\frac{\beta }{\alpha }{)}^{\frac{\alpha }{\alpha +\beta }}).p_1^{\frac{\alpha }{\alpha +\beta }}.p_2^{\frac{\beta }{\alpha +\beta }}$ (à ne pas apprendre).

On peut maintenant regarder le coût marginal $C_n=C^{\prime }(q)=k\times (\frac{1}{\alpha +\beta }).q^{\frac{1}{\alpha +\beta }-1}$. $C^{\prime \prime }=k\times (\frac{1}{\alpha +\beta }).(\frac{1}{\alpha +\beta }-1).q^{\frac{1}{\alpha +\beta }-2}<0$

$C(0)=0$, si on produit 0 outputs on a 0 coûts. Dans le modèle, il n'y a pas de cout fixes (hypothèse de concurrence + pas de maximisation), et on suppose qu'il y a assez d'entreprises en concurrence.